— В догреческом мире была чрезвычайно развита математика. Обычно говорят о египтянах и вавилонянах. Есть даже легенда, что египтяне придумали геометрию. Почему они придумали геометрию? Потому что, как известно, египетское земледелие было построено на разливах Нила. Но когда Нил разливался, он сметал все заборы между участками. Когда разлив заканчивался и плодородный ил выносило на землю, а сам Нил уходил, нужно было снова делить землю. Поэтому и были очень точно развиты в Египте методы измерения земли, откуда и происходит слово «геометрия».
Египтяне очень точно умели вычислять площадь круга и объёмы даже довольно сложных фигур — в частности, усечённых пирамид. Такое геометрическое знание было у них достаточно развито. Ещё более тонкие вещи умели делать вавилоняне.
Они особенно хорошо раскрыли то, что мы сегодня называем алгеброй. Дело в том, что у греков, например, несмотря на то, что они были гораздо позже вавилонян, не было понятия о числе. У них существовали только длины, величины, размеры площади, объёмы, но числа как такового у них не было.
Например, когда мы пишем кубическое уравнение, такая запись для грека не имеет смысла, потому что икс куб имеет размер объёма, а икс длины — это величины разной размерности. Как нельзя, например, складывать ваты и килограммы. А вавилоняне как раз-таки решали квадратные уравнения и даже кубические. У них была очень развита наука, которую мы сегодня называем алгеброй.
— Откуда мы знаем о математике египтян и валилонян? У нас есть, конечно, греческие источники, но они настолько смешивают реальность и легенду, что каждый читатель должен сам как-то восстановить своё понимание реальности, и надо сказать что главное и основное — это тексты. Это папирусы, если речь идёт о египтянах, и таблички в случае вавилонян. Эти тексты расшифрованы и прочитаны. Есть разногласия в чтении, но давайте вынесем это за скобки. Всегда, когда читаешь древний текст с сегодняшней позиции, есть опасения «вчитать» в текст то, что ты, читатель, знаешь, но знал ли это автор — непонятно.
Главное то, что эти тексты имеют следующую структуру: задача — ответ, задача — ответ, задача — ответ. В них отсутствует то, что для нас является главным — решение.
Например, кубические корни вавилоняне просто табулировали, у них были таблицы. Вавилонские источники имеют множество примеров решения квадратных уравнений, и трудно сомневаться, что вавилоняне как-то умели решать эту задачу. Но как они её решали? Мы этого не знаем.
Египтяне решали множество задач. У них были как точные, так и приближённые формулы, например, для вычисления объёмов. Откуда они брали эти формулы? Каким образом?.. Конечно, никто не может исключить, что завтра найдут папирус, который содержит современный учебник по математическому анализу, но всё-таки это кажется чрезвычайно маловероятным.
Обычно даже по сравнительно небольшому фрагменту можно установить, как думает автор математического руководства, а так как, в частности, в Египте эти математические вопросы имели чрезвычайно важное юридическое значение, то вообще эти математические вычисления были государственным делом. Этим занимались государственные чиновники. Их учили, и фрагменты этих учебников до нас дошли. Кажется логичным предположить, что, если бы обучение происходило по нашей дедуктивной греческой схеме, то следы этой схемы сохранились бы где-то, и отсюда делается вывод, как и любой вывод, исходя из недостаточных данных, сохраняющий степень гипотетичности, что никакой дедуктивной системы не было ни у египтян, ни у вавилонян.
Важно подчеркнуть революцию рождения математики в руках греков как дедуктивной системы, как системы доказательств и предложений. Как это часто бывает — мы не знаем, каким образом греки пришли к своей системе.
Именно Фалеса (один из семи мудрецов Греции, полулегендарный мудрый государственным деятель, математик и философ — прим. Ф.) греческая традиция считает родоначальником доказательств в математике. Доказательство — это то, что может быть выучено. И это важнейший греческий пункт — математике можно учить. Мы совершенно не представляем, как египтяне и вавилоняне учили решать задачи. Это именно то, что сделали греки.
— При этом нужно понимать, что огромное количество данных хранилось в Александрийской библиотеке. Она была сопоставима с объемом библиотек XIX века. Только в XIX веке библиотеки вернулись к таким объёмам знаний. Это была огромная сумма знания, от которой, к сожалению, до нас почти ничего не дошло. Поэтому мы знаем древние тексты из каких-то полулегендарных преданий или вовсе не знаем, или знаем в тенденциозном изложении, потому что каждый переизлагающий определяет своё собственное отношение к излагаемому материалу, и мы получаем не зеркало, а кривое зеркало.
«Начала» Евклида — это величайший школьный учебник в человеческой истории. Даже сегодня многие учебники геометрии достаточно точно следуют «Началам» Евклида (древнегреческий математик — прим. Ф.), а в Англии XX века геометрию преподавали прямо по «Началам».
Евклид написал книгу, по которой потом учились 2 тысячи лет. Евклид писал после Пелопонесской войны, и после того, как Грецию объединил Александр Македонский. Он захватил Египет и, как известно, дошёл даже до Индии, где научил делать каменные скульптуры и научил их греческой математике.
Математические рассуждения появляются у индийцев только после прихода Александра. Так или иначе наследники Александра в Александрии создают первый научно-исследовательский институт, в котором и работали эти исследователи. Они получали зарплату и бесплатные обеды, где они все и собирались. Таким образом, мы можем себе представить, как Евклид беседовал с Эратосфеном о каких-то проблемах реальных измерений размеров Земли.
Так или иначе этот удивительный памятник Евклида содержит такое педагогическое мастерство, что как бы ни был гениален человек, он не может сам это создать. Педагогика — это опыт и, наверное, всё-таки эти книги, особенно первые книги «Начал», Евклид взял из уже существующих традиций. Что из этого знал он сам, мы можем только строить догадки, но во всяком случае это построение самой книги — это действительно фантастика с точки зрения мастерства.
Приведу два примера. Думаю все помнят из школы такой факт, что у равнобедренного треугольника равны углы касания. Эту теорему латинские средневековые школяры называли «Ослиный мостик», то есть, если ты этого не понял, это значит что ты осёл. На самом деле это очень тонкое место, и Евклид это доказывает... Если говорить более формально, то возьмём прямую, опустим перпендикуляр и продлим его на такое же расстояние и сделаем так ещё раз. Почему эти углы равны? Это очень тонкое место, и Евклид чувствует, что на этом месте нужно сделать остановку. Интересно, что и Фалесу приписываются утверждения разного характера...
Исследователь оказывается перед стеной, могли ли действительно Фалес и Евклид понимать изотропность пространства? Или всё-таки они не понимали этого. Это же очень глубокое наблюдение: пространство в разных своих точках устроено одинаково. Действительно ли Фалесу это пришло в голову, или это была словесная игра в определения? Мне кажется, что у греков действительно было чрезвычайно тонкое понимание геометрии нашей плоскости и нашего пространства.
— Последний пример — это поразительное пророчество Евклида о Лобачевском. Это звучит очень натянуто, но, тем не менее, история науки полностью оправдывает мои слова. Хорошо известно, что у Евклида есть так называемая аксиома и так называемый постулат. Эти постулаты в основном чрезвычайно интуитивно ясны, вроде того, что все прямые углы равны, или, что через одну точку можно провести только одну прямую. Есть четыре постулата и пятый — параллельные прямые, которые никогда не пересекаются. Этот постулат чрезвычайно тонок уже тем, что в нём используется бесконечность, потому что все остальные утверждения вполне конечные. Это бесконечный постулат.
Поразительно, что Евклид осознал это. Это взрыв человеческого гения, но, опять же, это наводит на мысль, что это не взрыв человеческого гения, а несколько столетий упорной работы преподавательского состава.
Во-первых, Евклид осознаёт, что этот постулат необходим. Это очень неочевидно. И настолько это верно, что последователи Евклида дают десятки ошибочных доказательств ему. Евклид понимает, что это нужно постулировать, и это не нужно доказывать. Это первое. А второе — этот пятый постулат появляется в книге очень поздно. Геометрия развивается, и в какой-то момент появляется пятый постулат.
Если бы сейчас я хотел бы читать лекции по геометрии Лобачевского, мне бы ничего не надо было делать. Я мог бы в точности идти по книге Евклида. Это удивительное чудо. Всё, что у них совпадает, — Евклид это выбрал. Ровно в том месте, где ему нужен пятый постулат, он его и вводит. Даже в некоторых школьных учебниках это не так.
Может, греки подарили нам не только свои замечательные ответы, но и замечательные вопросы? Вопрос о пятом постулате разрешил через 2 тысячи лет после Евклида, следуя его схеме и взяв за основу его отрицание, наш великий соотечественник Николай Иванович Лобачевский...
