В белгородском «Креатив-тауне» прошла лекция о связи музыки и математики от участника кавер-группы Lenin Express Игоря Медведева. Пересказываем её суть доступным языком.
Пифагор и кузнецы: как всё начиналось
История взаимосвязи музыки и математики началась больше 2,5 тысячи лет назад. Древнегреческий учёный Пифагор, известный нам по школьным теоремам, однажды проходил мимо кузницы. Он обратил внимание, что молоты по-разному звучат при ударе о наковальню — одни издают приятный чистый звон, другие — резкий и глухой. Пифагор попросил кузнецов взвесить молоты и обнаружил закономерность: вес молотов, издающих гармоничное сочетание звуков, соотносится как простые числа 12 : 9 : 8 : 6.
Так учёный впервые доказал: музыкальная гармония подчиняется числам. Пифагор основал школу, где сочетали два предмета — математику и музыку, считая, что они дополняют друг друга и упорядочивают мышление.
Кстати, именно Пифагор ввёл в музыке понятие гаммы. До сих пор этот способ построения звукоряда называют «Пифагоровым строем».
Музыкальная дробь
Самый наглядный пример связи математики и музыки — длительности нот. Вы наверняка слышали: целая нота, половинная, четвертная, восьмая. Названия пришли из математики.
В целой ноте помещаются:
• две половинных,
• четыре четвертных,
• восемь восьмых,
• шестнадцать шестнадцатых.
То есть длительность — это настоящая дробь. Пока звучит целая нота, успевают прозвучать две половинные (1/2), четыре четвертные (1/4) или восемь восьмых (1/8).
Музыкальный размер такта тоже записывается дробью: 2/4, 3/4, 4/4. Числитель показывает, сколько долей в такте, знаменатель — какого размера эти доли.
Пифагороф строй и математический компромисс
Вернёмся к Пифагору. Он вычислил, что самые гармоничные интервалы между нотами получаются при простых пропорциях — например, 2:1 (октава) или 3:2 (квинта). Долгое время музыку настраивали именно так, по «чистому строю». Но у этой системы был недостаток: она работала только в одной тональности. Стоило перейти в другую — музыка начинала звучать фальшиво.
Решение нашли в XVI–XVII веках. Музыканты и математики придумали равномерно темперированный строй. Суть проста: октаву поделили на 12 абсолютно равных полутонов. Разница между двумя соседними нотами (например, «до» и «до-диез») — это корень 12-й степени из двух.
Чем пришлось пожертвовать? Идеальным звучанием отдельных интервалов — они стали чуть-чуть «неестественными» с точки зрения чистой акустики.
Что получили? Возможность играть в любой тональности и не перестраивать инструмент. Композиторы получили свободу менять тональности внутри одного произведения. Именно этот строй лежит в основе современных пианино, гитар и большинства других инструментов.
Октава, ноты и координатная прямая
На клавиатуре фортепиано 88 клавиш: 52 белых и 36 чёрных. Белые клавиши повторяют семь нот: ДО, РЕ, МИ, ФА, СОЛЬ, ЛЯ, СИ. Каждое такое повторение от одной ноты ДО до следующей называется октавой.
Математики сравнили расклад клавиатуры с координатной прямой. Октавы с высокими звуками (первая, вторая) — как положительные числа, отсчёт слева направо. Октавы с низкими, басовыми звуками — как отрицательные, отсчёт справа налево.
Тембр и обертоны: почему инструменты звучат по-разному
Мы без труда отличим звук гитары от звука флейты, даже если они играют одну и ту же ноту. Это называется тембром — окраской звука.
Лекция Игоря Медведева. Фото Алисы Вергун
За тембр отвечают обертоны (от немецкого Oberton — «верхний звук») . Когда струна или столб воздуха колеблется, возникает не один звук, а целый набор. Самый низкий — основной тон. А выше него — дополнительные призвуки, обертоны, частоты которых кратны основному тону .
Количество, высота и громкость обертонов создают уникальный «портрет» каждого инструмента.
Децибелы и логарифмы: как мы слышим громкость
Человеческое ухо устроено так, что мы воспринимаем не само изменение громкости, а то, во сколько раз она изменилась. Это называется логарифмической шкалой.
Шёпот — это примерно 20 децибел, обычный разговор — 50–60 децибел. Каждые +10 децибел означают, что давление звуковой волны выросло в 10 раз.
То есть разница между шёпотом и обычным разговором — не в 2–3 раза, а в тысячи раз по давлению. Вот почему рок-концерт (110–115 децибел) примерно в три тысячи раз громче классического (80 децибел) по физическому давлению звука.
Итог
Музыка без математики невозможна. Ноты — это частоты, интервалы — соотношения, аккорды — сложение волн, а ритм — деление целого на части.
Английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр сказал: «Музыка — это математика чувств, а математика — это музыка разума» . Когда в следующий раз включите любимый плейлист, знайте: вы слушаете не просто музыку, а прикладную математику.
